Dies erfordert einen Ausflug in die Musikgeschichte.

Ursprünglich wurden Instrumente hergestellt, um einfach Noten zu spielen, die "richtig" zusammen klangen. Warum einige Noten richtig und andere falsch klangen, war für den größten Teil der Menschheitsgeschichte nicht von großer Bedeutung, bis Pythagoras (ja, der Typ mit dem Theorem) bemerkte, dass dies der Fall war zu tun mit Intervallen, und machte eine Musiktheorie basierend auf perfekten Quinten. Diese Theorie hatte jedoch ihre Probleme und wurde von späteren Leuten verbessert, was schließlich zu einer sogenannten " gerechte Intonation" führte.

Grundsätzlich klingen Noten harmonisch, wenn die Frequenz der Noten liegt in der Nähe eines einfachen Intervalls wie 3/2 oder 5/4. Diese Theorien waren wichtig, weil es verschiedenen Instrumentenbauern möglich war, Instrumente herzustellen, die zusammen Skalen spielen konnten, wodurch Orchester entstanden.

Aber nur das Stimmen hat ein Problem: Sie können grundsätzlich nur die Tonleiter spielen, für die das Instrument gebaut wurde, da die Intervalle zwischen den Noten unterschiedlich sind. Wenn Sie eine Melodie auf der falschen Skala spielen, klingt sie verstimmt. Dies bedeutet, dass Sie, wenn Sie mit dem Instrument mitsingen möchten, einen Sänger finden müssen, dessen Reichweite zum Lied in der Skala passt, für die das Instrument gebaut wurde. Sie können das Lied nicht passend zum Sänger transponieren. Außerdem erkundeten Musiker die Grenzen dessen, was man mit nur intonierten Instrumenten machen kann.

Daraus entstand dann das gleiche Temperament. Es teilt die Tonleiter in gleiche Intervalle auf, was bedeutet, dass Sie eine Melodie in andere Tonarten transponieren können und dass Sie dramatische Akkordwechsel und andere interessante Dinge vornehmen können. Sie können die Oktave zwar in 11 oder 13 Noten aufteilen, wenn Sie dies wünschen, aber für die meisten Leute klingt sie verstimmt. Wenn Sie es jedoch in 12 Noten aufteilen, kommen Sie den sieben Noten der Intonation nahe genug, um erträglich zu sein, mit Ausnahme einiger weniger Pechvögel, die angeblich mit überaktiver perfekter Tonhöhe belastet sind. Die fünf Töne, die zwischen den sieben Grundtönen liegen, werden erwartungsgemäß als "Halbtöne" bezeichnet.

Es gibt andere Temperamente als die 12 Töne pro Oktave, die gut klingen, aber sie klingen nicht haben im Allgemeinen eine ganzzahlige Anzahl von Noten pro Oktave. Wendy Carlos hat viel damit experimentiert und Skalen wie die Gamma-Skala mit etwas umwerfenden 34,29 Noten pro Oktave erstellt.

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Mathematischer Unterschied zwischen weißen und schwarzen Noten in einem Klavier ?

Was hier vor sich geht, ist ein äußerst praktischer mathematischer Zufall: Einige der Potenzen von 2 ^ (1/12) sind zufällig gute Näherungswerte zu Verhältnissen kleiner Ganzzahlen, und es gibt genug davon, um westliche Musik zu spielen.

Zwei Punkte, die möglicherweise nicht vollständig beantwortet wurden.

• Warum ist C-Dur die Referenzskala für natürliche Töne?

  Die angelsächsische Notation verdunkelt die Geschichte ein wenig. Die Tradition der Kirchenmusik führte in Italien (kurz nach Frankreich und Spanien) dazu, Noten der Referenz-Dur-Tonleiter nach herkömmlichen Silben zu benennen: Ut Re Mi Fa Sol La Si (dies entspricht CDEFGAB ) aus den lateinischen Texten eines sehr bekannten Stücks dieser Zeit. Die letztere Einzelbuchstaben -Notation nimmt einen anderen Ausgangspunkt, aber der Referenzcharakter der C-Dur-Tonleiter ist in allen Ländern des Abendlandes erhalten geblieben, selbst wenn Sie Hinweise auf Notationen und Tastaturen finden, die andere Notizen als Referenz verwenden. Einer der Haupteinflüsse war der Bau von Tasteninstrumenten (insbesondere der Kirchenorgel). Das aktuelle Tastaturlayout ist ein Kompromiss zwischen der typischen Breite der Hände, dem einfachen Spielen der Ut-Tonleiter (jetzt meistens Do oder C genannt) und dem Zugriff auf alle Halbtöne und ein paar andere Dinge. Andere Designs waren nicht so erfolgreich.

  Sie müssen auch wissen, dass die Theoretisierung und Standardisierung der Musik mindestens bis zum 19. Jahrhundert unter der Schirmherrschaft der Kirchen (orthodox, katholisch, reformiert, ...) erfolgte, die auf Einheitlichkeit drängten. Im neunzehnten Jahrhundert wurde die Stimm-, Musik- und Klavierdominanz als Referenz- und Kompositionsinstrument noch stärker standardisiert und internationalisiert. Die letzten drei Jahrhunderte haben die meisten unterschiedlichen Traditionen (in Bezug auf Skalen, Modi, Stimmung) in Europa nach und nach unterdrückt oder in Vergessenheit geraten lassen. Heutzutage wird Menschen, die etwas über Musik lernen, als Beweis für die C-Dur-Tonleiter als Grundlage der Musiktheorie und die Moll-Tonleiter beigebracht, und seine Varianten werden nicht immer fair behandelt.

• Warum gibt es einen Halbton zwischen E & F und B & C und nicht anderswo?

  Es gibt mehrere Skalen / Modi außerhalb der Hauptskala mit einer unterschiedlichen Anzahl von Noten, wobei Die Halbtöne werden nicht zwischen der 3. und 4. Note und zwischen der 7. und 8. Note platziert. Die drei Moll-Skalen (harmonisch, aufsteigend, absteigend) zum Beispiel, aber auch dorian, phrygian, können Sie in einem Enzyklopädie-Artikel darüber lesen.

Es hat mit Harmonie zu tun. Noten kollidieren am wenigsten, wenn ihre Frequenzen übereinstimmen. Beispielsweise stimmen eine Note und ihre Oktave alle zwei Zyklen oder ein Verhältnis von 2/1 überein. Andere Verhältnisse, die gut klingen, sind 3/2, 4/3, 5/3, 5/4, 6/5 und 8/5; Diese werden als Grundkonsonantenintervalle bezeichnet. Intervalle, die aufeinander treffen, sind die dissonanten Intervalle.

Warum also zwölf Noten?

Die gleich temperierte Zwölftonskala ist die kleinste gleich temperierte Skala, die alle sieben enthält Die grundlegenden Konsonantenintervalle sind in guter Näherung - innerhalb eines Prozent - und enthalten mehr Konsonantenintervalle als dissonante Intervalle.

Diese Seite (aus der ich zitiert habe) enthält detailliertere Informationen: http: //thinkzone.wlonk.com/Music/12Tone.htm

Ein Fünftel ist das kleinste Nicht-Oktav-Konsonantenintervall mit einem Frequenzverhältnis von 3: 2. Wenn Sie anfangen, reine Quinten zu stapeln, beträgt das erste Ergebnis, das den gestapelten Oktaven (2: 1) ziemlich nahe kommt, 12 Quinten, was sich als 531441: 4096 herausstellt, im Gegensatz zu 128: 1 für 7 Oktaven. Das ist so nah wie möglich an einer angemessenen Anzahl von Noten pro Oktave. Wenn Sie also nach einer Tonalität suchen, die aus gestapelten Oktaven und nahezu perfekten Quinten besteht, ist eine Zwölftonteilung genau das, was Sie erreichen.

Dies dient auch einigen anderen Intervallen ( Dur- und Moll-Drittel zum Beispiel), aber schlimmer als Fünftel. "Mean Tone Temperament" versucht, eine Reihe von großen Dritteln rein zu machen, auf Kosten mehrerer anderer Intervalle, und einige Drittel klingen schlechter, und "gut temperierte Stimmung" erhält mehrere reine Fünftel und einige nette Drittel im Austausch gegen etwas unangenehmeres Fünftel.

Im Laufe der Jahrtausende hat das Stimmen seinen Fokus von reinen Dritteln auf reine Fünftel geändert und sich schließlich darauf festgelegt, nur die Oktaven rein zu machen und den Rest der Skala um ein gleich temperiertes Fünftel herum aufzubauen, was dazu führte 12 gleich temperierte Halbtöne.

Wenn zwei Noten zusammen gespielt werden, klingen sie nur dann angenehm, wenn ihre Wellenkurven alle paar Zyklen zusammenkommen. Wir nennen sie harmonisch klingend.

Wenn die Wellenkurven nie oder nicht innerhalb weniger Zyklen zusammenkommen, klingen sie nicht übereinstimmend.

Wellenkurven kommen nur zusammen, wenn Die beiden Frequenzen sind Vielfache voneinander. Wenn beispielsweise eine Frequenz 200 Zyklen pro Sekunde und die andere 600 Zyklen pro Sekunde beträgt, stimmen ihre Klangkurven genau dreimal pro Sekunde überein und sie klingen harmonisch.

Durch Teilen jeder Oktave in 12 In Intervallen maximieren Sie die Anzahl der angenehm klingenden Notenpaare. Dies liegt daran, dass die Zahl 12 durch mehr kleine Zahlen teilbar ist als jede andere Zahl unter 60. Sie ist durch 1,2,3,4 und 6 teilbar. Die Zahl 60 würde angenehmere Kombinationen ermöglichen (1,2,3, 4 und 5), aber es wäre lächerlich, eine Oktave in 60 Intervalle zu unterteilen.

In der modernen westlichen Musik werden also 12 Intervalle verwendet. Das bietet die maximale Anzahl an angenehm klingenden Kombinationen, um Harmonie zu schaffen.

Der Grund ist DAS GEHIRN. Das Gehirn mag Frequenzen, die einfache Proportionen haben. Es denkt, sie gehören zusammen. Sie sollten sich zuerst wirklich fragen, warum es Oktaven gibt.

Nun, die Oktave repräsentiert eine Verdoppelung / Halbierung von Hertz (Zyklen pro Sekunde).

Midi Middle C ist also 256 Hz, und wenn Sie Ihre Computernummern kennen, werden Sie Beachten Sie, dass die nächsten Oktaven C bei 512, 1024, 2048 usw. liegen und die unteren Oktaven bei 128, 64 und (pimpen Sie Ihre Fahrt) 32.

Erdbeben treten übrigens bei ungefähr auf 11 Hertz.

Jede Gesellschaft beginnt mit der Oktave. 'Cos 1/2. Ich habs?

(Ich schlage vor, dass die 2. Wiener Schule übrigens die Oktave verlässt und auch die Instrumente stimmt. Niether macht für sie keinen Sinn. Der aktuelle Stand der Dinge mit Oktaven und Stimmung und dergleichen ist reine Heuchelei. Lass es los, Jungs! Auch Partituren. Und in der Öffentlichkeit spielen. Es kommt sowieso niemand.)

Hh HHm ...

Wie teilt man die Oktave?

Wenn wir es auf C starten und in 3 teilen (was ein schönes gehirnfreundliches Verhältnis ist), erhalten wir eine schöne 3-Noten-Skala:

C, E, G #, C

Wie wäre es, wenn Sie es in vier Teile teilen:

C, Eb, F #, A, C

"Das ist schön", sagt das Gehirn, "aber es ist zu SYMMETRISCH. Beide Diese Skalen scheinen einfach für immer und ewig zu bestehen, ich kann nicht sagen, was was ist. Ich weiß! Warum mischen und passen Sie die Proportionen nicht an, damit sie etwas ungleichmäßiger sind? Dann kann ich die Bassnote herausfinden. "

Und so wurde das "Proto Major Thingy" geboren:

C, E, G, C

und das "Proto Minor Thingy":

C, Eb, G, C

"Warte ein bisschen", sagt das Gehirn, "du bist falsch Sie haben eine Notiz geschrieben, nicht wahr? ".

" Wo? "

" Zwischen G und C bin ich mir ziemlich sicher, dass Sie etwas zwischen G und C hatten. " / p>

C, E, G, A, C?

"Das ist schön! Rock and Rollish. Was ist dann mit dem anderen? "

C, Eb, G, Bb, C?

" Hey, was ist mit dem Bb? Das haben wir noch nie gehört. Was für ein Verhältnis ist das? "

" Es ist 10/12. "

" Sie meinen 5/6. In Ordung. Spielen Sie es noch einmal ".

C, Eb, G, Bb, C

"Kay, das ist bluesig. In Ordnung! Aber es ist 70.000 Jahre her und es gibt eine Menge armer Bastarde, die sich in der Landschaft herumtreiben und von ihnen gekaut werden Säbelzahntiger und dergleichen. Viele Beerdigungen. Mucho Traurigkeit. Wie Trump heutzutage sollten Sie es wissen! Brauchen Sie Abwechslung. "

" Permutationen? "

" Zeigen Sie es mir. "

C, D, E, G, A, C
C, D, E, G, Bb, C
C, Eb, F, G, Bb, C
C, Eb, F, G, A, C

"Wie hoch ist der F-Anteil?"

"4/3"

"Großartig! Ich mag es. 5 Notizen. Geben wir ihm einen ausgefallenen griechischen Namen. Tart es ein bisschen auf. Penta ...? "

"Tonic?".

"Das ist wunderbar".

"Ich habe nur Spaß gemacht. Weißt du, zu wörtlich ..."

"Nevermind. Es ist großartig. Wir werden mit Pentatonic gehen. Mehr! Wir brauchen mehr! Jetzt gibt es Häuptlinge , Lehmhütten, Schmuck "

" Ich brauche ein paar Regeln ".

" Kay. Ähm ... behalte das kleine Drittel oder das große Drittel und das fünfte, wo es ist, und gerecht Bewegen Sie die anderen um ... Ich weiß, wie folgt: Bewegen Sie den siebten nach oben, den sechsten nach unten, den vierten nach oben und den zweiten nach unten! "

C, D, E, G, A, C.
C, D, E, G, Ab, C
C, D, E, G, Bb, C
C, D, E, G, B, C
C, Eb, F. , G, Bb, C
C, Db, E, G, A, C C, Db, E, G, Ab, C C, Db, E, G, Bb, C C, Db, E, G. , B, C

"Hey, wenn wir sie alle überlagern, erhalten wir 12 Unterteilungen der Oktave! Genial!"

C, Db, D, Eb, E, F, F #, G, Ab, A, Bb, B, C

"Deshalb werde ich das GEHIRN genannt, Sohn. Oh, und du bist willkommen."

Für die westliche Musik waren die Griechen die ersten, die die Mathematik herausfanden, die natürlich in den von Hörnern und anderen Blasinstrumenten erzeugten Obertönen der Harmonischen vorkommt. Die Griechen verwendeten die gleichen mathematischen Verhältnisse (Goldener Schnitt) für Saiten. Pythagoras erfand die pythagoreische Stimmung von (3: 2) perfekten Quinten und Oktaven (2: 1), um natürlich vorkommenden harmonischen Obertönen zu entsprechen. Später erfanden die Griechen 7 Modalskalen, die auf pythagoreischer Stimmung basierten. Sieben Modi mit acht Noten in einer Skala. Diese Skalen waren ionisch, dorisch, phrygisch, lydisch, mixolydisch, äolisch und locrisch. Wir verwenden immer noch Ionian (Major) und Aeolian (Minor). Der Fehler bei natürlichen Harmonischen besteht darin, dass die Oktaven zwischen den einzelnen Modi leicht voneinander abweichen. Aristoxenus erfand im 4. Jahrhundert v. Chr. Die 12 Töne zwischen den Oktaven, um zu versuchen, zwischen jeder Note das gleiche Verhältnis zu verwenden. Später wurden Keys erfunden, um diese 12 Töne als Basis für jede Skala zu verwenden. Das Problem war, dass diese Tasten von Natur aus leicht voneinander entfernt sind. Um dies zu lösen, J.S. Bach förderte Anfang des 18. Jahrhunderts die Verwendung der gehärteten Skala. Er glich die natürlich vorkommende Lücke zwischen jedem der zwölf Halbtöne aus. Blechblasinstrumente im Barock hatten eine Tüte mit Gaunern unterschiedlicher Größe, die für jede Tonart, in der sie spielten, angepasst werden konnten. Auch die Saiteninstrumente mussten bei jedem Tonartenwechsel neu eingestellt werden. Durch Verwendung der temperierten Skala kann ein Performer zwischen allen verschiedenen Tasten wechseln, ohne sie neu einzustellen.

Großartige Antwort von @john Baldwin oben. Jut wollte hinzufügen, dass diese Mindestunterteilungen auch am praktischsten zu verwenden sind. Nehmen wir zum Beispiel das Singen zwischen einer Note, sagen wir C, und ihrer höheren Oktave C, erzeugen 7 Intervalle den deutlichsten Klang plus 5 Sharps und Flats = 12.

Und wenn wir dann anfangen, ihn weiter zu teilen Langsam werden sehr feine Subharmonien für das menschliche Gehör erkennbar. Und diese 12 Divisionen wiederholen sich dann auch in den höheren und niedrigeren Oktaven und so weiter.

Am einfachsten zu identifizieren sind 4 Divisionen, was ein Divisor von 12 ist, der eine pentatonische Skala mit der höheren Note bildet, und ist deshalb leicht zu genießen.

Aufgrund Ihres Wortlauts der Frage würde ich sagen, dass es beabsichtigt ist. Es ist kein Zufall, dass 12 Halbschritte eher in eine Oktave als in 11 oder 13 passen. Obwohl sich die Details ändern können, wenn man nur eine Stimmung annimmt, werde ich die Annahme einer gleich temperierten Stimmung erklären. Zunächst sollten Sie wissen, dass es ein Kontinuum von Frequenzen und damit Tonhöhen zwischen zwei beliebigen Noten gibt. Durch Jahrhunderte des Experimentierens haben wir uns auf eine bestimmte Auswahl von Tonhöhenkombinationen für die westliche diatonische Skala konzentriert. Die Noten in einer Skala spiegeln wider, was den Ohren für eine bestimmte Kultur gefällt. Im Laufe der Zeit standardisierten Westler den Halbschritt, indem sie die Oktave unter Verwendung der Beziehung

f_octave = 2 * f_tonic

in 12 Schritte aufteilten egal wo Sie anfangen,

f_1 / 2 = r * f_tonic (dies wäre eine kleine Sekunde)

, da wir die Anzahl von 1/2 Schritten von Tonic auf erzwingen Oktave auf 12 bekommen wir die Beziehung

r ^ 12 = 2 oder r = 2 ^ (1/12)

IMO einige Beiträge hier stellen den Wagen vor das Pferd. Mit der obigen Definition eines Halbtons können Sie nicht nachweisen, dass die Oktave nur 12 Halbtöne hat. Vielmehr fragen Sie, wie hoch das Verhältnis sein muss, um sicherzustellen, dass eine Oktave 12 enthält.

Zu diesem Zweck gibt es alle möglichen alternativen Chromatizismen, die versuchen, N gleiche Schritte in einer Oktave zu platzieren. Diese führen zu der Abstimmungsgleichung

r = 2 ^ (1 / N)

Es gibt ein 24 TET, das 24 gleiche Viertelschritte in einer Oktave enthält. Und Sie könnten absolut eine Skala mit

r = 2 ^ (1/13)

oder eine andere Wurzel von 2. Natürlich wären dies NICHT 1/2 Schritte im traditionellen Sinne des Begriffs. Jetzt ist die Frage, wie wir dorthin gekommen sind, eine längere Geschichte. Vor dem 12TET-Stimmen hat die Just-Dur-Tonleiter mit 8 Noten (einschließlich Oktave) mehr als 5 Vorzeichen. Sie können dies googeln und Wiki-Artikel zu diesem Thema finden, aber ich glaube, es gab nur Skalen mit bis zu 17 unabhängigen Noten in der Oktave. Obwohl alle aufeinanderfolgenden Noten wahrscheinlich ein leicht unterschiedliches Verhältnis haben. Daher nicht wirklich ein halber Schritt. Was Sie einen halben Schritt nennen, hängt davon ab, wie Sie den Begriff gelernt haben.