Frage:
Warum ist die Beziehung zwischen Frequenz und Tonhöhe exponentiell?
tom894
2019-05-31 03:34:02 UTC
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Ich habe gelesen, dass die Formel für die Frequenz der gespielten Note wie folgt lautet:

F = 440 × 2 n / 12 sup>

Wobei F. ist die Frequenz in Hertz der gespielten Note und n ist die Anzahl der Noten von Mitte A.

Es scheint mir seltsam, dass diese Beziehung exponentiell ist, nicht wahr? Ist es nicht sinnvoller, wenn die Beziehung linear ist, so ist es für den Musiker einfacher, schnell unbewusst vorherzusagen, wie jede zunehmende Note klingen wird?

Gibt es überhaupt einen Punkt in dieser Formel? oder ist es nur eine seltsame Konvention? Wenn es nur eine Konvention ist, woher kommt sie dann?

Weil Frequenzen umso ähnlicher klingen, je mehr Schwingungsknoten sie gemeinsam haben. Frequenzen von 1, 2, 3, 4 ... haben nicht so viele wie 1, 2, 4, 8, 16 ... tun - Sie können ein einfaches Diagramm erstellen, um zu sehen, warum.
Ich empfehle, Diagramme von Sinuswellen mit verschiedenen Frequenzen zu betrachten und ihre Formen zu vergleichen. Sie sehen Muster bei Verdopplungen (und einigen anderen Verhältnissen).
Mögliches Duplikat von [Unterschied zwischen gleichem Temperament und gerechter Intonation] (https://music.stackexchange.com/questions/31509/difference-between-equal-temperament-and-just-intonation)
Sie machen einige ernsthaft ungerechtfertigte Annahmen über Audiologie und Neurologie ("schnell unbewusst ..."). Tu das nicht :-)
Versuchen Sie dieses Experiment: Notieren Sie sich bei 440 Hz. Machen Sie sich dann schnell hintereinander Notizen bei 540 Hz, 640 Hz und 740 Hz. Sagen Sie uns, wie einfach das war.
Für das, was es wert ist, hören wir auch die Lautstärke (Amplitude) auf einer exponentiellen Skala.
Sie haben Recht, es könnte "sinnvoller" sein, wenn die Beziehung linear wäre. Es könnte auch "sinnvoller" sein, wenn die Erde flach wäre. Leider ist es dem physischen Universum egal, was für uns niederen linearen Denker "sinnvoller" sein könnte.
Die Dynamik funktioniert genauso. Um die wahrgenommene Lautstärke eines Verstärkers zu verdoppeln, muss die Leistung mit etwa zehn multipliziert werden. Es ist nur Mathe. Wenn eine Tonhöhe bei 100 Hz liegt, wird die Frequenz erhöht. um 100 wird eine Oktave erzeugt. Wenn die Tonhöhe 1000 Hz beträgt, wird eine Erhöhung um 100 Hz nicht erreicht. Es geht um Proportionen und Beziehungen, nicht um absolute Werte. .
Acht antworten:
#1
+23
topo Reinstate Monica
2019-05-31 04:18:44 UTC
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Dies liegt daran, dass die Art und Weise, wie das Ohr tatsächlich Tonhöhenunterschiede hört (für die meisten Menschen), eher auf Frequenzverhältnissen als auf absoluten Frequenzunterschieden basiert.

Wenn ich Ihnen "Twinkle Twinkle Little Star" ab einer Note von 400 Hz vorspielte und es dann erneut mit weiteren 300 Hz spielte, die zur Frequenz jeder Note hinzugefügt wurden, es würde nicht nach der gleichen Melodie klingen. Wenn wir jedoch die Frequenz jeder Note im Original mit einem Verhältnis (z. B. 1,75) multiplizieren , würde dies wie "dieselbe Melodie, aber höher" klingen.

I ' Ich bin kein Experte für Physiologie, aber ich glaube, es gibt sogar physikalische Eigenschaften des Ohrs, die sich darauf beziehen, dass Noten im Abstand von einer Oktave (was einer Verdoppelung der Frequenz entspricht) als etwas äquivalent gehört werden.

Durch die In der von Ihnen zitierten Formel wird beschrieben, wie Notenfrequenzen in einem System mit gleichem Temperament gefunden werden. Dieses System wurde im Laufe der Zeit als cleverer Kompromiss verwendet, mit dem viele verschiedene Kombinationen von Noten mit „fast konsonanten“ harmonischen Beziehungen erklingen können. Es sind andere Temperamentsysteme möglich, und daher sind auch andere Gleichungen möglich, obwohl sie alle weitgehend logarithmisch sind.

Als Antwort auf g.kertesz 'interessante Verbindung - von Aus evolutionärer Sicht kann es sein, dass das Hören so genau logarithmisch ist, weil das Ohr Frequenzkomponenten korrelieren muss, die Teil derselben harmonischen Reihe sind (d. h sind Vielfache einer Grundfrequenz), da diese separaten Komponenten tatsächlich wahrscheinlich Informationen über dieselbe Schallquelle liefern.

Immer wenn ich eine Frage zur Akustik sehe, sind Sie einer der Benutzer, die ich hoffentlich beantworten werde. Wissen Sie, ob es Beispiele für gängige Melodien mit der linearen Änderung gibt, die Sie in Ihrem zweiten Absatz besprochen haben? Das wäre wirklich interessant zu hören!
@Richard Ich weiß wirklich sehr wenig über Musik, deshalb muss ich an der Peripherie des Themas nach diesen Fetzen suchen (zum Glück müssen Sie sich mit dem saftigeren Zeug befassen). Ich kann mir keine Melodie vorstellen, die so funktioniert - vielleicht sollte ich versuchen, eine zu machen! Es wäre wahrscheinlich eine Art Übung in simultanen Gleichungen, zu versuchen, sie harmonisch klingen zu lassen ...
@Richard https: // www.youtube.com / watch? V = Ef93Wm lEho0 beschreibt eine völlig andere Art von Fehler, aber ich vermute, dass das Ergebnis ähnlich ist.
"Ich glaube, es gibt sogar physikalische Eigenschaften des Ohrs, die sich auf Noten im Abstand von einer Oktave beziehen." Vermutlich liegt das daran, dass jeder Teil Ihres Ohrs, in den eine Schallwelle "passt", genau zwei Wellen einer Note eine Oktave höher passt.
Es ist tiefer als die physischen Eigenschaften des Ohrs, es hängt damit zusammen, wie die Realität im Allgemeinen funktioniert.
@Hearth Wir hatten Leute auf dieser Site, die behaupteten, sie würden die Oktaväquivalenz nicht erkennen (obwohl sie sich möglicherweise aus anderen Realitäten anmelden).
#2
+14
user45266
2019-05-31 04:26:08 UTC
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Im Wesentlichen liegt es daran, dass wir Menschen die Tonhöhe auf einer logarithmischen / exponentiellen Skala wahrnehmen. Wir hören eine Oktave, wenn die Frequenz verdoppelt oder halbiert wird, nicht wenn eine bestimmte Menge hinzugefügt oder abgezogen wird. Da Musiker (jedenfalls die westlichen) die Oktave in 12 gleiche Teile teilen, mussten wir die 12. Wurzel von zwei als unseren Faktor nehmen, um einen Halbton darzustellen.

Was die Ursprünge dieses Systems betrifft Wir müssen zumindest bis in die Zeit von Pythagoras zurückgehen, der als einer der Ersten die verhältnisbasierte Natur der Musik entdeckte, und auch die harmonische Reihe (die selbst ganzzahlige Vielfache des Grundlegenden ist). Zu Pythagoras 'Zeiten gab es kein 12-TET - das System, das wir jetzt verwenden, und das System, das durch die handliche Gleichung beschrieben wird, die Sie hier veröffentlicht haben -, aber Pythagoras wusste, dass ganzzahlige Verhältnisse die größte Harmonie sind, und unsere Das moderne Frequenzsystem und seine Beziehungen sind größtenteils eine Annäherung an Pythagoras 'Harmonie mit einigen festen Dingen. Meine Quelle für all dies ist Tom Jacksons Mathematik: Eine illustrierte Geschichte der Zahlen . Es ist ein großartiges Buch, das hauptsächlich über Mathematik geschrieben wurde, aber Mathematik und Musik sind untrennbar miteinander verbunden, und es gibt ein oder zwei Seiten über die Ursprünge der Musik selbst.

Sie können auch selbst experimentieren.

  1. Suchen Sie nach einer beliebigen Tongeneratoranwendung (diese Website funktioniert).
  2. Versuchen Sie, eine Notiz auszuwählen (z. B. 440 Hz). Spielen Sie es ab und spielen Sie dann gleichzeitig einen anderen Sound mit einer Frequenz ab, die das 1,5-fache des Originals (660 Hz) beträgt. Beobachten Sie.
  3. Löschen Sie beide Töne. Spielen Sie einen anderen Ton mit einer anderen Frequenz (z. B. 500 Hz). Spielen Sie gleichzeitig einen zweiten Ton mit der 1,5-fachen Frequenz des Originals (750 Hz). Sie sollten einen sehr ähnlichen Klang hören, beginnend mit einer höheren Note. Dies ist das Ergebnis der Multiplikation der Frequenz mit dem gleichen Betrag.
  4. Beginnen Sie erneut mit einem 440-Hz-Ton. Fügen Sie diesmal 220 Hz hinzu, um die zweite Note zu erzeugen (die immer noch 660 Hz betragen sollte). Spiel das; Offensichtlich ist es der gleiche Klang wie zuvor.
  5. Fügen Sie nun ab 500 Hz Ihrer 500-Hz-Frequenz 220 Hz hinzu. Spielen Sie die 500-Hz-Frequenz gleichzeitig mit Ihrer neuen 720-Hz-Frequenz.
  6. Beachten Sie den Unterschied?
  7. ol>

    Fazit: Unsere Ohren nehmen die Tonhöhe logarithmisch wahr. Um eine Frequenz um einen beliebigen Betrag zu ändern, muss die Frequenz daher mit bestimmten Faktoren multipliziert werden, anstatt zu addieren oder zu subtrahieren. Alle Musikintervalle können als Verhältnis dargestellt werden, und das Multiplizieren der beiden Frequenzen mit demselben Faktor ergibt dasselbe Verhältnis. Wenn Sie beiden Frequenzen den gleichen Betrag hinzufügen, bleibt das Verhältnis nicht erhalten.


    Wenn Sie dies noch nicht getan haben, lesen Sie diese Frage.

Ich bin mir nicht ganz sicher, wie Sie es geschafft haben, aber Ihre Sounddateilinks in dieser Antwort sind alle lokal auf Ihrem eigenen Computer.
@AndrewLeach Was bedeutet das? Ist das ein Problem?
Es bedeutet, dass sie nur für Sie arbeiten. Sie haben die Dateien heruntergeladen und mit diesen heruntergeladenen Dateien verknüpft, aber niemand anderes hat einen Speicherort / home / chronos / u-8284b ... Sie müssen einen Link zu ihrem Speicherort im Internet erstellen.
@AndrewLeach Ah. Ich werde die nur werfen. Funktioniert der Link zur Website selbst noch?
#3
+11
g.kertesz
2019-05-31 14:28:15 UTC
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Obwohl die Antworten von topo morto und user45266 beide richtig sind, gehen sie von der physiologischen Seite nicht wirklich auf das "Warum" ein. Es sieht so aus, als ob sich die Wahrnehmung verschiedener Frequenzen nicht von der sensorischen Wahrnehmung im Allgemeinen unterscheidet logarithmisch in der Natur. Diese empirische Tatsache ist als Weber-Fechner-Gesetz bekannt.

Gleiches gilt beispielsweise für die visuelle Helligkeit oder die Lautstärke von Schall. Wenn wir einen bestimmten Helligkeitsunterschied oder unsere Lautstärke spüren, entspricht dies einem bestimmten Verhältnis (im Gegensatz zum Unterschied) des Eingangsreizes (in diesem Fall der physischen Intensität).

Die Wahrnehmung könnte auf diese Weise funktionieren, um einen großen Bereich in einen winzigeren Bereich zu pressen, wie z. B. einen Log-Paper-Plot (der auch in der Signalverarbeitung häufig vorkommt). Sie können dies feststellen, wenn Sie einen Bildschirm im Freien oder in Innenräumen verwenden, subjektiv nicht so viel Unterschied, aber die Schwierigkeit beim Lesen des Bildschirms zeigt, dass dies der Fall ist, oder wenn Sie aufwachen und Ihre Augen sich anpassen müssen.
Auch zum Vergleichen von Größen und Mengen. Es ist einfacher zu beurteilen, "das ist doppelt so groß / lang". Für Bereiche ist es das Vierfache (zweifache Zunahme in zwei Dimensionen) und für Volumen (z. B. zwei Partyballons) das Achtfache (zweifache Zunahme in drei Dimensionen). Dies wird natürlich logarithmisch, wenn es reibungslos auf alle Skalen angewendet wird. Das heißt, Ein Ballon, der doppelt so groß aussieht wie ein anderer Ballon, hat ungefähr das Achtfache des Volumens.
#4
+7
Tom Serb
2019-05-31 16:14:31 UTC
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Ist es nicht sinnvoller, wenn die Beziehung linear ist, sodass der Musiker leichter unbewusst vorhersagen kann, wie jede zunehmende Note klingen wird?

Nein. Wir machen Tonhöhen, um Musik zu machen, und das können wir, ohne die Frequenz zu verstehen. Als Analogie können Sie fernsehen, ohne etwas über das Raster-Scannen zu wissen (wie Broadcast-Kameras funktionieren).

Die Menschen machen seit vielen tausend Jahren Musik, und die meiste Zeit hatten wir kein Verständnis dafür Frequenz. Wir wissen, dass Frequenzbeziehungen seit den alten Griechen Konsonanz oder Dissonanz erzeugen, aber wir hatten keine Methode, die Frequenz tatsächlich zu messen, bis Vincenzo Galillei im 16. Jahrhundert begann, mit gelehrten Seilen zu experimentieren - einem Seil von ausreichender Länge und die Masse vibrierte langsam genug, um die Vibrationen tatsächlich zu zählen.

Marin Mersenne nahm dann Galileis Arbeit weiter und formalisierte die Mathematik. Das Ergebnis waren Mersennes Gesetze, die beschreiben, wie vibrierende Saiten funktionieren.

Die von Ihnen zitierte Formel F = 440 + 2 ^ (n / 12) ist die Formel für 12-Ton-Temperament. Weil Mersenne uns gezeigt hat, dass Tonhöhenbeziehungen exponentiell sind und weil die Oktaväquivalenz ein Verhältnis von 2: 1 ist, müssen Sie für das Tauchen einer Oktave in 12 gleiche Klangschritte die 12. Wurzel von 2 verwenden. Verwenden Sie sie 12 Mal hintereinander und Sie haben 2, die Oktave. Sie benötigen eine andere Formel für andere Temperamente - und wenn das Temperament nicht gleich ist, benötigen Sie eine kompliziertere Funktion.

Gibt es überhaupt einen Punkt in dieser Formel oder Ist es nur eine seltsame Konvention?

Formeln beschreiben die Welt in mathematischen Begriffen. E = mc ^ 2 wäre einfacher zu bearbeiten, wenn die Lichtgeschwindigkeit (c) gleich eins ist - aber wie Sie die Lichtgeschwindigkeit messen, ändert nichts an der Beziehung. Wenn Sie die Beziehung in etwas "Einfacheres" ändern, beschreiben Sie nicht mehr, was beobachtet wird.

Es ist also keine Konvention. Und der Punkt ist ziemlich einfach: Er beschreibt mathematisch, was los ist.

Genau wie beim Raster-Scannen müssen Sie es nicht verstehen (oder sich dessen sogar bewusst sein), um es nutzen zu können.

#5
+7
Alan Amaral
2019-05-31 23:40:54 UTC
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Ihre Gleichung ist falsch. Es ist nicht F = 440 + 2 ^ (n / 12), es ist F = 440 * 2 ^ (n / 12)

Tatsächlich ist die Beziehung IS linear auf einer logarithmischen Skala. Hier sind 2 Diagramme, eines der Frequenz jeder Note und eines des natürlichen Protokolls der Frequenz 440. Beachten Sie, dass die zweite eine gerade Linie ist. (Die Frequenz 440 macht die Geradheit nur deutlicher.)

Frequency for each note Note to LOG(freq/440) Nur zu Ihrer Information: Die meisten älteren Synthesizer für elektronische Musik verwendeten eine lineare 1V / Oktave (1 / 12V pro Note) Skala für die Steuerspannung ihrer spannungsgesteuerten Oszillatoren. Ich gehe davon aus, dass die lineare 1V / Oktav-Skala gewählt wurde, um den für größere Tastaturen erforderlichen Spannungsbereich zu begrenzen. Beispielsweise würde eine Tastatur mit 88 Tasten weniger als eine 8-Volt-Schwingung erfordern, um den gesamten Tastenbereich abzudecken.

#6
+5
badjohn
2019-06-01 15:11:34 UTC
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Sie haben bereits einige gute Antworten, aber ich möchte einen Punkt hinzufügen.

Erstens ist Ihre Formel, wie einige andere betont haben, falsch.

Nicht: F = 440 + 2 ^ (n / 12)

Es sollte sein: F = 440 x 2 ^ (n / 12)

Betrachten der Fall n = 12 (eine Oktave). Ihre Formel würde vorschlagen, dass 2 Hz hinzugefügt werden, aber tatsächlich wird die Frequenz verdoppelt (mal 2). Eine Oktave von 440 Hz ist 880 Hz, nicht 442 Hz.

Nun mein Hauptpunkt: Sie haben den Wagen vor dem Pferd. Niemand setzte sich und entwickelte diese seltsame Formel, bevor sie anfingen zu singen. Es wurde lange danach entwickelt und gilt, wie einige erwähnt haben, nur für das relativ moderne System des gleichen Temperaments. Ältere Systeme verwendeten keine seltsamen irrationalen Zahlen.

Die Antwort mit dem Pferd vor dem Karren ist, dass unsere Ohren so funktionieren. Wir hören 440Hz, 880Hz, 1320Hz, 1760Hz usw. nicht als gleiche Schritte. Es würde nach abnehmenden Schritten klingen: eine Oktave (A bis A), eine fünfte (A bis E), eine vierte (E bis A); grob, genaue Temperament Überlegungen ignorieren.

Andere haben angesprochen, warum, also werde ich nicht darauf eingehen, aber wenn Sie sich davon überzeugen möchten, versuchen Sie dieses Experiment.

Finden Sie einen Mann und eine Frau, die recht gut einfache Melodien singen können, aber weder ausgebildete Musiker noch Mathematiker oder Physiker sind. Daher können sie keine Musik lesen und kennen diese Formel nicht.

Geben Sie der Frau eine 440-Hz-Note (A4) und bitten Sie sie, Twinkle, Twinkle Little Star zu singen. Ihre ersten beiden Noten werden (ungefähr) 440 Hz sein und dann wird sie hoffentlich auf 660 Hz (E5) springen. 220 Hz oder 1,5-fache Frequenz.

Bitten Sie nun den Mann, mit ihr zu singen. Wenn er keine außergewöhnlich hohe Stimme hat, singt er nicht die gleichen Noten, sondern eine Oktave tiefer. Also startet er mit 220 Hz (A3) und springt dann auf 330 Hz (E4). 110 Hz und 1,5-fache Frequenz. Was sich also nach der gleichen Änderung anhört, ist immer noch das 1,5-fache der Frequenz, aber ein kleinerer Schritt von 110 Hz.

Dies zeigt auch, dass das Verschieben einer Oktave (Verdoppeln oder Halbieren der Frequenz) als ziemlich dieselbe Note wahrgenommen wird. Wenn die Frau nahe bei 440 Hz und der Mann nahe bei 220 Hz wäre, würden sie als in Einklang gebracht. Andere haben angesprochen, warum: Alle Harmonischen der 440 Hz der Frau wären auch Harmonische der 220 Hz des Mannes.

Dies ist in der Physik üblich. Schauen Sie sich die Formel für die Anziehungskraft zwischen zwei Körpern an. Newton hat diese Formel nicht erfunden und dem Sonnensystem auferlegt. Er fand heraus, dass es sehr gut dazu beitrug, das Verhalten des Sonnensystems zu erklären und vorherzusagen. Ihre Formel ist ähnlich: Sie wurde der Musik nicht auferlegt. Musik stand an erster Stelle und die Formel wurde später als Modell dafür entwickelt.

#7
+3
Scott Wallace
2019-05-31 22:15:35 UTC
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Alle anderen Antworten sind korrekt, aber die Wurzel der Antwort ist einfacher: Die Beziehung zwischen Frequenz und Tonhöhe ist exponentiell, nicht aufgrund von Wahrnehmung oder Konvention, sondern aufgrund einer einfachen Geometrie. Intervalle sind Frequenzverhältnisse, nicht A plus B, sondern A-mal (oder geteilt durch) B. Das Intervall einer Oktave besteht zwischen einem Ton und einem anderen Ton mit der doppelten Frequenz, so dass jeder Zyklus zwei Zyklen umfasst. Die Art der Intervalle ist geometrisch und daher exponentiell.

Das klingt nach einem Zirkelargument. Intervalle sind Frequenzverhältnisse * weil * wir so die Tonhöhe wahrnehmen. Sie erklären nicht, * warum * wir Frequenzverhältnisse anstelle von absoluten Unterschieden als Tonhöhe wahrnehmen. Möglicherweise verstehen die OP (oder andere zukünftige Leser) die mathematische Bedeutung des Wortes Exponential nicht, daher ist diese Antwort möglicherweise hilfreich. (Eine geometrische Reihe bedeutet auch nicht, dass ["Geometrie"] (https://en.wikipedia.org/wiki/Geometry) (das Studium von Formen und Größen) beteiligt ist.)
#8
+1
Rakanishu
2019-06-21 14:23:44 UTC
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Es gibt eine Skala namens Mel-Skala (Frequenz bis Grad):

M (f) = 1125 ln (1 + f / 700)

und (Grad zur Frequenz):

M '(m) = 700 (exp (m / 1125) - 1)

Es ist Eine Skala, die empirisch zu den Ohren des Menschen passt und aus psychologischen Experimenten erstellt wurde.

Die chromatische Skala ist eine Annäherung an die Mel-Skala, wenn auch nicht beabsichtigt.



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