Frage:
Kann man den "Abstand" zwischen Akkorden messen? Wenn das so ist, wie?
Stan Shunpike
2015-08-13 06:11:20 UTC
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Ich habe einen Artikel gelesen und der Autor hat die folgende Akkordfolge angegeben: C A7 Dm G C

Ich möchte die "Entfernung" messen, wenn es so etwas zwischen C und A7 gibt. Kann das gemacht werden?

Mit anderen Worten, ich frage, ob es prominente Modelle gibt, die die Beziehungen zwischen Akkorden in Bezug auf einen metrischen Raum (d. h. mit einer Distanzfunktion) irgendwie quantifizieren.

Am nächsten, den ich kenne, ist Hindemiths Interweisung im Tonsatz, aber seien Sie darauf vorbereitet, dass diese Entfernungen auf alles in Harmonie ausgedehnt werden (einschließlich Akkordstruktur und melodischer Struktur), und denken Sie auch daran, dass die einzige Person, die jemals Hindemiths Theorien mit großer Wirkung angewendet hat war Hindemith selbst, was stark darauf hindeutet, dass seine Theorien nicht ausreichten, um seine eigene Musik zu erklären. (Hindemith definiert Verwandtschaftsgrade, formalisiert sie jedoch nicht in eine Distanzfunktion.)
Es ist eine gute Frage und nur zu fragen, ist ein Zeichen dafür, dass Sie einen guten Ansatz für das Betrachten von Harmonie verfolgen. Es ist nicht nur der Unterschied zwischen den Tonhöhenfrequenzen, sondern auch ihre Interdivisierbarkeit (wie gut sich die Tonhöhen ineinander teilen), was weitgehend als eine Frage dessen angesehen werden kann, welche niedrigen Ganzzahlverhältnisse daraus oder nahezu hergestellt werden können.
Können Sie die zweite Hälfte Ihrer Bemerkung näher erläutern? Ich habe nicht ganz verstanden, was Sie unter "Teilen in" verstanden haben? Meinst du wie 440Hz / 2 = 220Hz?
Was genau möchten Sie an Ihrer Entfernung messen? Zum Beispiel wären zwei C-Dur-Akkorde in zwei weit voneinander entfernten Registern nahe beieinander oder nicht? Was ist mit zwei Akkorden wie "C 5+ 7" und "Db min 6"?
Fünf antworten:
#1
+17
Caleb Hines
2015-08-13 08:00:38 UTC
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Die einfachste und wahrscheinlich am häufigsten verwendete Metrik (wenn auch nur implizit) besteht darin, die Anzahl der Schritte zwischen den Akkordwurzeln entlang einer eindimensionalen Quintenlinie (oder der Quintenkreis, wenn Sie Enharmonik und modulare Arithmetik zulassen). Ich sage, dies wird am häufigsten verwendet, da Akkordfolgen, bei denen der Grundton um ein Viertel oder ein Fünftel auf- oder absteigt (die nach dieser Metrik einen Abstand von eins haben), in vielen westlichen Musikstilen am häufigsten verwendet werden, was darauf hinweist, dass diese Akkorde sind in gewissem Sinne "nah". In Ihrem Verlauf würde diese Metrik Entfernungen von 3, 1, 1, 1 ergeben. Diese Metrik hat die Eigenschaft, dass sie gut mit Klangmusik spielt, da die tonisch / dominante Beziehung, die die Tonalität definiert, einen Abstand von eins hat. Und selbst wenn Sie anfangen, leicht von den Akkorden in Ihrer aktuellen Tonart abzuweichen, werden Sie am Ende "eng verwandte" Tonarten besuchen. Da sich diese Metrik nur auf Roots bezieht, ist die Akkordqualität (Dur vs. Moll) oder Erweiterungen (Septime, Neuntel usw.) nicht von Natur aus wichtig.

Dom hat bereits eine zweite mögliche Metrik erwähnt: die Anzahl der gemeinsamen Töne (genauer gesagt die Anzahl der ungewöhnlichen Töne). Je mehr Töne zwei Akkorde gemeinsam haben, desto "näher" werden sie betrachtet. Dies funktioniert besonders gut, wenn Sie Akkorde als Formen in einem Tonnetz -Raster zeichnen. In diesem Fall werden alle Ihre Triaden als Dreiecke betrachtet. Die "nächsten" Akkorde dieser Metrik sind diejenigen, die zwei gemeinsame Töne haben, was dazu führt, dass das Dreieck grafisch entlang einer seiner drei Kanten "umgedreht" wird. Dies würde zum Beispiel bedeuten, dass der C-Dur-Akkord gleichermaßen nahe an C-Moll, E-Moll und A-Moll liegt (ein einzelner Flip verwandelt ein Dur immer in ein Moll und umgekehrt ). In der Neo-Riemannschen Theorie werden diese Arten von Transformationen sogar genannt: Parallel (P), Leitton (L) bzw. Relativ (R). Es gibt komplexere Transformationen zwischen Akkorden, die nur einen einzigen gemeinsamen Ton enthalten. Wenn Sie der Einfachheit halber die 7. ignorieren, würde Ihre Metrik Ihrem Fortschritt die folgenden Abstände geben: 1, 2, 2, 2. Diese Metrik ist weniger durch die Tonalität eingeschränkt und konzentriert sich mehr auf die Sprachführung. Es kann leichter die "Nähe" von Akkorden wie C und A explain erklären, die traditionell weit entfernt wären. Als solches ist es eher für romantische Musik geeignet, wo diese traditionell weit entfernten Progressionen häufiger sind. Diese Metrik berücksichtigt auch von Natur aus verschiedene Akkordtypen.

Es gibt eine noch komplexere Metrik, die von Dmitri Tymoczko in A Geometry of Music entwickelt wurde. mit n-dimensionalen Orbifolds, aber ich kann nicht behaupten, sehr vertraut damit zu sein. Es ist gut geeignet, um Sie dazu zu bringen, Musik zu vergessen und sich auf mathematische Abstraktionen zu konzentrieren.

Ich habe eine Geometrie der Musik und ich bin mir ziemlich sicher, dass er die Ähnlichkeit zwischen Akkorden in Bezug auf Gitter diskutiert, die mit Kombinationen von Noten ähnlich einem Tonnetz beschriftet sind, aber in einem 3D-Raum. Ich müsste es allerdings noch einmal überprüfen, zumal das Material in dem Buch selbst mit einem umfangreichen musikalischen und mathematischen Hintergrund ziemlich schwer zu verdauen ist.
Wäre das nicht eine großartige Anwendung für das Tonnetz?
#2
+7
Dom
2015-08-13 06:43:31 UTC
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Dies ist ein großer Teil der Sprachführung, insbesondere dort, wo Sie nach gemeinsamen Tönen zwischen Akkorden in der Harmonie suchen und wie Sie diese beim Übergang zwischen ihnen nutzen können.

Es ist nicht wirklich eine Formel, sondern nur eine Beurteilung der Beziehung zwischen den beiden Akkorden. Die Grundidee besteht darin, nur zu prüfen, welche Noten vorhanden sind und ob sich die Noten um wie viel bewegen.

In Ihrem Beispiel hat C mit den Noten C-E-G und A7 mit den Noten A-C # -E-G zwei gemeinsame Töne und ist verwandt. Wenn Sie diese Akkorde im 4-stimmigen Chorstil gesprochen haben, sehen Sie möglicherweise die beiden Akkorde wie folgt:

enter image description here

Wie Sie sehen können , 2 der Noten bewegen sich nicht. Eine Note, in diesem Fall der Tenor, bewegt sich chromatisch nach oben, was sehr wenig Bewegung ist, und die andere, die sich bewegt, ist die Bassnote um die dritte, die etwas weiter entfernt ist. Sie sollten jedoch beachten, dass die Basslinie normalerweise mehr Bewegung aufweist.

Wie ich bereits sagte, es ist keine Formel, aber es ist eine sehr gute Möglichkeit, um zu beurteilen, wovon Sie sprechen.

Ich hatte etwas Ähnliches im Sinn http://dept-info.labri.fr/~rocher/pdfs/RRHD_icmc10.pdf, aber ich bin mir nicht sicher, ob dieses gut ist
Oder besser gesagt, ich hatte auf etwas in einer Sprache wie dieser gehofft, aber mit Ihrer allgemeinen Idee. Ihre Vorstellung von gemeinsamen Tönen ist sinnvoll, aber ich möchte eine mathematisch formalisierte Version
@StanShunpike Verwechseln Sie nicht "Musik" und "Mathematik". Beide sind ausgezeichnete Fächer zum Lernen, aber es ist am besten, einen klaren Kopf darüber zu behalten, welches Sie studieren. Denken Sie auch daran, dass die meisten Musiktheorien im Nachhinein von Menschen erfunden wurden, die selbst nicht viel denkwürdige Musik geschaffen haben. (Natürlich gibt es einige Ausnahmen von dieser Verallgemeinerung)
"Ich hatte etwas Ähnliches im Sinn: dept-info.labri.fr/~rocher/pdfs/RRHD_icmc10.pdf, aber ich bin mir nicht sicher, ob dieses gut ist." Ich würde musikalisch sagen, dass das Wichtigste daran Folgendes ist: Die Menge an Kommentaren oder Bewertungen darüber, wie etwas in der Zeitung ** klingt **, ist Null. Ich bin nicht geneigt, Zeit damit zu verbringen, es als ein Stück Mathematik zu bewerten (obwohl ich einen Mathematik-Abschluss habe).
@alephzero diese letzte Zeile ist eines der größten Missverständnisse, die immer wieder auftreten. Verwechseln Sie das formale Studium der Musiktheorie nicht als die einzige Musiktheorie da draußen. Jeder Komponist seit Anbeginn der Zeit schreibt mit bestimmten Absichten und einer gewissen Theorie, auch wenn es nur "Ich mag die Art und Weise, wie das klingt, und ich mag nicht, wie das klingt". Sie halten sich an diese Ideen und folgen ihnen und verwenden sie, um Musik zu schaffen, und insbesondere im Kontext der modernen Musik gehört sie aus gutem Grund fast immer gut zu den typischen theoretischen Studien.
Der Link zum obigen ICMC-Artikel ist defekt. Der Permalink lautet: http://hdl.handle.net/2027/spo.bbp2372.2010.036
#3
+7
tmwitten
2015-08-15 08:41:23 UTC
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Wenn ich meinen Mathematikerhut aufsetze, hängt der Begriff der Distanz von vielen Faktoren ab. Die eigentliche Frage ist, wonach suchen Sie, wenn Sie Distanz sagen? Meinen Sie damit, dass Sie nach harmonischer Ähnlichkeit suchen? Meinen Sie damit ein gewisses Maß an auditorischer Ähnlichkeit? Meinst du, wie sie sich auf den Kreis der Fünftel beziehen?

Das Konstrukt einer euklidischen Distanz ist nicht wirklich relevant, da es eine physikalische Distanz messen soll. Gruppentheoretische Argumente sollen über Beziehungen zwischen Akkordfolgen sprechen, bauen jedoch auf einem Netzwerk oder einer Gitterstruktur auf. Wenn wir Gitter verwenden, haben wir viele verschiedene Entfernungsmaße, von denen jedes eine für das untersuchte Netzwerk relevante Bedeutung hat.

Wir könnten auch das Konstrukt der zeitlichen Ähnlichkeit betrachten. Hier schreiben wir jeden Akkord in seiner mathematischen Form (Sinuswellen usw.) und betrachten dann die Abstände zwischen den Signalen über die Zeit. Letztendlich muss die Verwendung des Begriffs Distanz genauer definiert werden, bevor wir die Frage wirklich beantworten können.

Würde es Ihnen etwas ausmachen, ein paar Beispiele dafür hinzuzufügen, was Stan Ihrer Meinung nach bedeutet?
Es ist schwer genau zu verstehen, was unter Entfernung zu verstehen ist. Deshalb habe ich eine Reihe von Konstrukten gegeben. Ich hatte gehofft, der ursprüngliche Poser würde einspringen und weitere Informationen hinzufügen.
Ich hatte gehofft, dass Poster wissen würden, welche Arten von Anwendungen für den musikalischen metrischen Raum existieren, und mir sagen könnten, welche Modelle am nützlichsten sind. Ich habe es absichtlich offen gelassen
#4
+2
Johannes
2015-11-20 20:11:43 UTC
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Es gibt andere Möglichkeiten, den harmonischen "Abstand" zu definieren. Zum Beispiel könnte man das 5-Grenzgitter als "Karte" verwenden, auf der sich die harmonische Landschaft um Fünftel (W-E) und Drittel (N-S) entfaltet. Dann könnten wir die Akkordfolge verfolgen, während sie sich buchstäblich auf der Karte bewegt.

lattice

Das einzige Problem ist das des II-Akkords, der eine Doppelfunktion erfüllt und uns tatsächlich sofort über die Karte transportiert ( von Subdominante "West" zu Dominante "Ost"). (Siehe zum Beispiel ' Harmonic Experience' von WA Mathieu.)

Eine andere, wenn auch eng verwandte Art, die Entfernung zu betrachten, ist die Verwendung der neo-Riemannschen Theorie und das tonnetz . Dann könnte die Entfernung auf die gleiche Weise verfolgt und möglicherweise als die Anzahl der Transformationen definiert werden, die erforderlich sind, um von einem Akkord zum nächsten zu gelangen.

tonnetz

Im Fall von C -> A würden wir zwei Transformationen benötigen: R und P.

#5
  0
Richard
2018-12-18 10:30:47 UTC
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Einige wissenschaftliche Artikel diskutieren genau diese Frage. Ich werde hier zwei zusammenfassen.

In "Square Dances with Cubes" von Richard Cohn diskutiert der Autor, was er "gerichtete sprachführende Summen" (oder "DVLS") nennt. ). Um die DVLS zwischen zwei Akkorden zu finden, addieren Sie einfach die Tonhöhenklassen des ersten Akkords (Mod 12), die Tonhöhenklassen des zweiten Akkords (auch Mod 12) und subtrahieren die erste Summe von der zweiten.

Zum Beispiel haben wir von C-Dur nach G-Dur CEG ({0 4 7}, was zu 11 addiert), das zu GBD ({7) wechselt 11 2}, was zu 20 oder 8 mod 12) addiert. Wir subtrahieren dann 11 von 8, was -3 oder 9 mod 12 ist; Die gerichtete stimmführende Summe von C-Dur nach G-Dur ist somit 9. Wie erwartet ist dies ein größerer Abstand als beispielsweise von C-Dur (11) nach D-Dur (5), der eine DVLS von 6 aufweist.

In einem ähnlichen Artikel von Seth Monahan mit dem Titel "Voice-Leading Energetics in Wagners 'Tristan Idiom'" spricht der Autor über "kinetische Verschiebungsmetriken" oder "KDMs". Was hier wichtig ist (und was sich von Cohns DVLS unterscheidet), ist, dass Monahan auch die Richtung misst.

Kehren wir zu dem Beispiel zurück, in dem C-Dur nach G-Dur wechselt. In diesem Fall können wir verstehen, dass es einen gemeinsamen Ton G zwischen den beiden Akkorden gibt (also eine Bewegung von 0 Halbschritten); Die anderen Stimmen bewegen sich von C nach B und von E nach D. Da C nach B einen halben Schritt (-1) und E nach D einen ganzen Schritt (-2 halbe Schritte) nach unten ist, addieren wir diese Abstände, um zu sehen dass diese Progression einen KDM von -3 hat. Wie bei Cohns DVLS deutet ein größerer absoluter Wert auf einen größeren Abstand zwischen zwei Akkorden hin.

Für alle, die sich für die kognitiven Realitäten dieser Abstände interessieren, empfehle ich "Wahrgenommene Triadenentfernung: Beweise, die die psychologische Realität unterstützen of Neo-Riemannian Transformations " von Carol Krumhansl.



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